Упр.13.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите область определения функции:

$$y=x^{\frac{5}{6}}$$;
$$y=(x-3)^{2,6}$$;
$$y=(x^2-6x-7)^{-\frac{1}{9}}$$.

Подробный ответ

1) Для степени с дробным показателем $$y=x^{\frac{5}{6}}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x \ge 0.$$

Следовательно, область определения:

$$D(y)=[0;+\infty).$$

2) Для функции $$y=(x-3)^{2,6}$$ показатель степени нецелый, значит основание должно быть неотрицательным:

$$x-3 \ge 0,$$

откуда

$$x \ge 3.$$

Следовательно, область определения:

$$D(y)=[3;+\infty).$$

3) Рассмотрим функцию $$y=(x^2-6x-7)^{-\frac{1}{9}}.$$

Так как показатель степени отрицательный, основание не должно быть равно нулю. Кроме того, корень нечётной степени определён при любых значениях, поэтому требуется лишь

$$x^2-6x-7 \ne 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$x^2-6x-7=(x+1)(x-7).$$

Тогда

$$x \ne -1,\quad x \ne 7.$$

Следовательно, область определения:

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;7)\cup(7;+\infty).$$