Упр.13.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 13.26. Упростите выражение a^0,2+a^0,5+a^0,8+a^1,1+…+a^7,1.

Обозначим

$$S=a^{0,2}+a^{0,5}+a^{0,8}+a^{1,1}+\dots+a^{7,1}.$$

Это сумма членов геометрической прогрессии, где

$$a_1=a^{0,2}, \qquad q=\frac{a^{0,5}}{a^{0,2}}=a^{0,3}.$$

Найдём число членов:

$$n=\frac{7,1-0,2}{0,3}+1=24.$$

Тогда

$$S=\frac{a^{0,2}\left((a^{0,3})^{24}-1\right)}{a^{0,3}-1}=\frac{a^{7,4}-a^{0,2}}{a^{0,3}-1}, \qquad a\ne 1.$$

Если $$a=1,$$ то каждый член суммы равен $$1,$$ поэтому

$$S=24.$$

Ответ

$$S=24,\ \text{если } a=1; \qquad S=\frac{a^{7,4}-a^{0,2}}{a^{0,3}-1},\ \text{если } a\ne 1.$$