Упр.13.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 13.24. Вычислите произведение x^(1/2)В·x^(1/4)В·x^(1/8)В·…В·x^(1/64), если x=2^(-64/9).

Перемножим степени с одинаковым основанием:

$$x^{\frac12}\cdot x^{\frac14}\cdot x^{\frac18}\cdot \ldots \cdot x^{\frac1{64}}=x^{\frac12+\frac14+\frac18+\ldots+\frac1{64}}.$$

Сумма показателей — геометрическая прогрессия:

$$\frac12+\frac14+\frac18+\ldots+\frac1{64}=\frac12\cdot \frac{1-\left(\frac12\right)^6}{1-\frac12}=\frac{63}{64}.$$

Тогда

$$x^{\frac12}\cdot x^{\frac14}\cdot x^{\frac18}\cdot \ldots \cdot x^{\frac1{64}}=x^{\frac{63}{64}}.$$

Подставим $$x=2^{-\frac{64}{9}}$$:

$$\left(2^{-\frac{64}{9}}\right)^{\frac{63}{64}}=2^{-\frac{64}{9}\cdot \frac{63}{64}}=2^{-7}.$$

Ответ

$$2^{-7}$$