Упр.13.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 13.23. Вычислите произведение x^1,2В·x^1,3В·x^1,4В·x^1,5В·…В·x^8,8, если x=2^(1/5).

Сначала перемножим степени с одинаковым основанием:

$$x^{1,2}\cdot x^{1,3}\cdot x^{1,4}\cdot x^{1,5}\cdot \ldots \cdot x^{8,8}=x^{1,2+1,3+1,4+1,5+\ldots+8,8}.$$

Сумма показателей — это сумма арифметической прогрессии от $$1,2$$ до $$8,8$$ с шагом $$0,1$$.

Найдём число слагаемых:

$$n=\frac{8,8-1,2}{0,1}+1=77.$$

Тогда

$$1,2+1,3+\ldots+8,8=\frac{1,2+8,8}{2}\cdot 77=5\cdot 77=385.$$

Значит,

$$x^{1,2}\cdot x^{1,3}\cdot x^{1,4}\cdot x^{1,5}\cdot \ldots \cdot x^{8,8}=x^{385}.$$

При $$x=2^{1/5}$$ получаем:

$$x^{385}=\left(2^{1/5}\right)^{385}=2^{385/5}=2^{77}.$$

Ответ

$$2^{77}$$