Упр.13.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 13.22. Упростите выражение (x-y)/(x^(3/4)+x^(1/2)y^(1/4))·(x^(1/2)y^(1/4)+x^(1/4)y^(1/2))/(x^(1/2)+y^(1/2))·(x^(1/4)y^(-1/4))/(x^(1/2)-2x^(1/4)y^(1/4)+y^(1/2)).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}\cdot \frac{x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot \frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{x^{1/2}-2x^{1/4}y^{1/4}+y^{1/2}} $$

Вынесем общие множители и представим выражения в удобном виде:

$$ x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}=x^{1/2}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right), $$
$$ x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}=x^{1/4}y^{1/4}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right), $$
$$ x^{1/2}-2x^{1/4}y^{1/4}+y^{1/2}=\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2. $$

Тогда

$$ \frac{x-y}{x^{1/2}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)}\cdot \frac{x^{1/4}y^{1/4}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot \frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2}. $$

Сократим на $$x^{1/4}+y^{1/4}$$ и упростим произведение:

$$ \frac{x-y}{x^{1/2}}\cdot \frac{x^{1/4}y^{1/4}}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot \frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2} = \frac{x-y}{x^{1/2}}\cdot \frac{x^{1/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot \frac{1}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2}. $$

Так как

$$ x-y=\left(x^{1/2}-y^{1/2}\right)\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right), $$

получаем

$$ \frac{\left(x^{1/2}-y^{1/2}\right)\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right)}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot \frac{1}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2} = \frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2}. $$

Разложим разность квадратов:

$$ x^{1/2}-y^{1/2}=\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right). $$

Тогда

$$ \frac{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2} = \frac{x^{1/4}+y^{1/4}}{x^{1/4}-y^{1/4}}. $$

Переходя к корням, получаем:

$$ \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}. $$