Упр.13.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (a^(7/3)-2a^(5/3)b^(2/3)+ab^(4/3))/(a^(5/3)-a^(4/3)b^(1/3)-ab^(2/3)+a^(2/3)b):a^(1/3);
2) (x^(2/3)+2(xy)^(1/3)+4y^(2/3))/(((x^4)^(1/3)-8y^(1/3)):(xy)^(1/3))·(2-(x/y)^(1/3)).

Подробный ответ

1) Преобразуем числитель и знаменатель, вынеся общий множитель:

$$ \frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}:a^{1/3} = \frac{a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right)}{a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)}:a^{1/3} $$

$$ a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}=\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)^2, $$
поэтому
$$ \frac{a\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)^2}{a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)}:a^{1/3} = \frac{a^{1/3}\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)}{a^{1/3}-b^{1/3}}. $$

Так как
$$ a^{2/3}-b^{2/3}=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right), $$
то
$$ \frac{a^{1/3}\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)}{a^{1/3}-b^{1/3}} = a^{1/3}\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right) = a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}. $$

2) Упростим выражение:

$$ \frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{\left((x^4)^{1/3}-8y^{1/3}\right):(xy)^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right) $$

Так как
$$ (x^4)^{1/3}=x^{4/3}, \qquad (xy)^{1/3}=x^{1/3}y^{1/3}, $$
то
$$ \left((x^4)^{1/3}-8y^{1/3}\right):(xy)^{1/3} = \frac{x^{4/3}-8y^{1/3}}{x^{1/3}y^{1/3}}. $$
Кроме того,
$$ x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3} = \left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2, $$
а
$$ x^{4/3}-8y^{1/3}=x^{1/3}\left(x-y^{1/3}\cdot 8x^{-1/3}\right), $$
поэтому после сокращений получаем
$$ \frac{\left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2}{\frac{x^{4/3}-8y^{1/3}}{x^{1/3}y^{1/3}}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right) = \frac{\left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2x^{1/3}y^{1/3}}{x^{4/3}-8y^{1/3}}\cdot\frac{2y^{1/3}-x^{1/3}}{y^{1/3}}. $$
После сокращения и преобразования получаем
$$ -1. $$