Упр.13.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. 1) $$\frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}:a^{1/3}$$; 2) $$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{((x^4)^{1/3}-8y^{1/3}):(xy)^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right)$$.

1) Преобразуем числитель и знаменатель, вынеся общий множитель:

$$\frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}:a^{1/3} = \frac{a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right)}{a^{2/3}\left(a-b^{1/3}a^{1/3}-ab^{2/3}+a^{?}\right)}$$

Удобнее записать выражение через степени с одинаковыми показателями:

$$\frac{a^{2/3}\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right)}{a^{2/3}\left(a^{2/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)}.$$

Так как

$$a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}=\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)^2$$

и

$$a^{2/3}-b^{2/3}=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right),$$

то после сокращения получаем:

$$a^{1/3}+b^{1/3}.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{\left(\sqrt[3]{x^4}-8\sqrt[3]{y}\right):\sqrt[3]{xy}}\cdot\left(2-\sqrt[3]{\frac{x}{y}}\right).$$

Так как

$$\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}, \qquad (xy)^{1/3}=x^{1/3}y^{1/3},$$

то после преобразований получаем:

$$\frac{x^{2/3}+2x^{1/3}y^{1/3}+4y^{2/3}}{x^{4/3}-8y^{1/3}} \cdot \frac{x^{1/3}y^{1/3}}{1}\cdot \frac{2y^{1/3}-x^{1/3}}{y^{1/3}}.$$

Сгруппируем множители:

$$\frac{\left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2}{x^{1/3}\left(x-8y\right)}\cdot \frac{x^{1/3}\left(2y^{1/3}-x^{1/3}\right)}{y^{1/3}}.$$

После сокращения и упрощения получаем:

$$\frac{8y-x}{x-8y}=-1.$$

Ответ

1) $$a^{1/3}+b^{1/3}$$

2) $$-1$$