Упр.13.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) ((m^2+n^2)/(m^(3/2)+mn^(1/2))-(m+n)/(m^(1/2)+n^(1/2)))·m/n=n^(1/2)-m^(1/2);
2) ((a^(-1/3)b^(-1/3)/(a^(-1)-b^(-1))-1/(a^(-1/3)-b^(-1/3))):(a^(-2/3)+b^(-2/3)/(a^(-2/3)+a^(-1/3)b^(-1/3)+b^(-2/3))=a^(1/3)b^(1/3)/(a^(1/3)-b^(1/3).

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:
$$ \left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot \frac{m}{n} $$
Так как
$$ m^{3/2}+mn^{1/2}=m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right), $$
то
$$ \left(\frac{m^2+n^2}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot \frac{m}{n} $$
$$ =\frac{m^2+n^2-m(m+n)}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\cdot \frac{m}{n} $$
$$ =\frac{n^2-mn}{n\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)} =\frac{n(n-m)}{n\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)} $$
$$ =\frac{n-m}{m^{1/2}+n^{1/2}} =\frac{(n^{1/2}-m^{1/2})(n^{1/2}+m^{1/2})}{m^{1/2}+n^{1/2}} =n^{1/2}-m^{1/2}. $$
Преобразуем левую часть:
$$ \left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}} $$
Используем формулы:
$$ a^{-1}-b^{-1}=\frac{b-a}{ab}, \qquad a^{-1/3}-b^{-1/3}=\frac{b^{1/3}-a^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}. $$
Тогда
$$ \frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}} =\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}, $$
и после приведения к общему знаменателю получаем
$$ \frac{a^{-1/3}b^{-1/3}-(a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3})}{(a^{-1/3}-b^{-1/3})(a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3})}. $$
Числитель упрощается:
$$ a^{-1/3}b^{-1/3}-(a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}) =-a^{-2/3}-b^{-2/3}. $$
Тогда
$$ \frac{-a^{-2/3}-b^{-2/3}}{(a^{-1/3}-b^{-1/3})(a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3})} :\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}} $$
$$ =\frac{-1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} =\frac{1}{b^{-1/3}-a^{-1/3}}. $$
Переходим к положительным степеням:
$$ \frac{1}{b^{-1/3}-a^{-1/3}} =\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}. $$