Упр.13.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ((a^0,5+2)/(a+2a^0,5+1)-(a^0,5-2)/(a-1)):a^0,5/(a^0,5+1)=2/(a-1);
2) (a-b)^2/(a^(3/2)-b^(3/2))+(a^2-b^2)/((a^(1/2)+b^(1/2))(a+a^(1/2)b^(1/2)+b))=2a^(1/2)-2b^(1/2).

1) Обозначим $$x=\sqrt a.$$ Тогда $$a=x^2,$$ и данное выражение преобразуется так:

$$ \left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right):\frac{x}{x+1} = \left(\frac{x+2}{(x+1)^2}-\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}\right)\cdot\frac{x+1}{x}. $$

Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^2+x-2-(x^2-x-2)}{x(x+1)(x-1)}. $$

$$ \frac{2x}{x(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x^2-1}=\frac{2}{a-1}. $$

Что и требовалось доказать.

2) Обозначим $$x=\sqrt a,$$ $$y=\sqrt b.$$ Тогда $$a=x^2,$$ $$b=y^2,$$ и левая часть равна

$$ \frac{(x^2-y^2)^2}{x^3-y^3}+\frac{x^4-y^4}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}. $$

Разложим на множители:
$$ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \qquad x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), $$
$$ x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2). $$

Тогда
$$ \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}. $$

Сократим:
$$ \frac{(x-y)(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2} = \frac{(x-y)\bigl((x+y)^2+x^2+y^2\bigr)}{x^2+xy+y^2}. $$

$$ (x+y)^2+x^2+y^2=2x^2+2xy+2y^2=2(x^2+xy+y^2), $$
поэтому
$$ \frac{(x-y)\cdot 2(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}=2(x-y). $$

Возвращаясь к переменным $$a$$ и $$b,$$ получаем
$$ 2(\sqrt a-\sqrt b)=2a^{1/2}-2b^{1/2}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$\left(\frac{a^{0,5}+2}{a+2a^{0,5}+1}-\frac{a^{0,5}-2}{a-1}\right):\frac{a^{0,5}}{a^{0,5}+1}=\frac{2}{a-1}.$$
2) $$\frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}}+\frac{a^2-b^2}{(\sqrt a+\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)}=2\sqrt a-2\sqrt b.$$