Упр.13 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 13. Сколько корней имеет уравнение |(x+1)^2-1|=a в зависимости от значения параметра а?

Рассмотрим функцию

$$f(x)=|(x+1)^2-1|.$$

Тогда нужно определить, сколько точек пересечения имеет график функции $$y=f(x)$$ с прямой $$y=a$$.

Упростим выражение под модулем:

$$|(x+1)^2-1|=|x^2+2x|=|x(x+2)|.$$

Так как модуль неотрицателен, то при $$a<0$$ решений нет.

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция обращается в нуль:

$$|(x+1)^2-1|=0 \iff (x+1)^2-1=0 \iff x^2+2x=0 \iff x(x+2)=0,$$

откуда

$$x=-2,\; x=0.$$

Значит, при $$a=0$$ уравнение имеет 2 корня.

На промежутке $$-2<x<0$$ выражение $$x(x+2)<0,$$ поэтому

$$|(x+1)^2-1|=-(x^2+2x).$$

Это ветвь параболы с вершиной в точке $$(-1,1)$$, значит наибольшее значение на этом промежутке равно $$1$$.

Следовательно:

• если $$0<a<1$$, прямая $$y=a$$ пересекает график в 4 точках;
• если $$a=1$$, прямая касается графика в вершине и ещё пересекает его в двух точках, всего 3 корня;
• если $$a>1$$, прямая пересекает график в 2 точках.

Ответ

$$ \begin{cases} a<0 — \text{корней нет},\\ a=0 — 2 \text{ корня},\\ 0<a<1 — 4 \text{ корня},\\ a=1 — 3 \text{ корня},\\ a>1 — 2 \text{ корня}. \end{cases} $$