Упр.12.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\left(1+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\right)\left(1-\sqrt[3]{a}\right)$$;
2. $$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt[4]{a}\right)\left(1-\sqrt[4]{a}\right)$$.

1) Обозначим $$x=\sqrt[3]{a}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{a^2}=x^2,$$ и выражение принимает вид

$$\left(1+x+x^2\right)(1-x).$$

Используем формулу суммы кубов:

$$\left(1+x+x^2\right)(1-x)=1-x^3.$$

Так как $$x^3=a,$$ получаем

$$1-a.$$

2) Обозначим $$y=\sqrt[4]{a}.$$ Тогда $$\sqrt{a}=y^2,$$ и

$$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt[4]{a}\right)\left(1-\sqrt[4]{a}\right)=\left(1+y^2\right)(1+y)(1-y).$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$\left(1+y\right)\left(1-y\right)=1-y^2.$$

Тогда

$$\left(1+y^2\right)\left(1-y^2\right)=1-y^4.$$

Так как $$y^4=a,$$ получаем

$$1-a.$$

Ответ: 1) $$1-a$$; 2) $$1-a$$.