Упр.12.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.36. Докажите равенство v(2+v(2+v(…+v(2+v6))))=(2+v3)^(1/1024)+(2-v3)^(1/1024). 10 радикалов

Обозначим

$$x_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\,\dots+\sqrt{2+\sqrt6}\,}}}$$

где под корнем стоит $n$ радикалов. Докажем по индукции, что

$$x_n=\sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}.$$

1) База индукции. При $n=1$ имеем

$$\sqrt6=\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}.$$

Действительно,

$$\left(\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}\right)^2$$

$$=2+\sqrt3+2-\sqrt3+2\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}$$

$$=4+2\sqrt{1}=6,$$

значит, равенство верно.

2) Переход индукции. Пусть для некоторого $k$ верно

$$x_k=\sqrt[2^k]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^k]{2-\sqrt3}.$$

Тогда

$$x_{k+1}=\sqrt{2+x_k}$$

$$=\sqrt{2+\sqrt[2^k]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^k]{2-\sqrt3}}.$$

Возведём в квадрат правую часть предполагаемого ответа:

$$\left(\sqrt[2^{k+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{k+1}]{2-\sqrt3}\right)^2$$

$$=\sqrt[2^k]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^k]{2-\sqrt3}+2\sqrt[2^{k+1}]{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}$$

$$=\sqrt[2^k]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^k]{2-\sqrt3}+2\sqrt[2^{k+1}]{1}$$

$$=\sqrt[2^k]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^k]{2-\sqrt3}+2.$$

Следовательно,

$$x_{k+1}=\sqrt[2^{k+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{k+1}]{2-\sqrt3}.$$

Индукция завершена.

При $n=10$ получаем

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\,\dots+\sqrt{2+\sqrt6}\,}}}=\sqrt[1024]{2+\sqrt3}+\sqrt[1024]{2-\sqrt3}.$$

Ответ

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\,\dots+\sqrt{2+\sqrt6}\,}}}=\sqrt[1024]{2+\sqrt3}+\sqrt[1024]{2-\sqrt3}.$$