Упр.12.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.35. Докажите, что число 2^(1/3)+5^(1/3) является иррациональным.

Подробный ответ

Обозначим

$$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}.$$

Возведём это выражение в куб:

$$ x^3=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)^3 =2+3\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}+3\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{25}+5. $$

Так как

$$\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{20}=\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{2},$$

и

$$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{50}=\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{5},$$

то

$$ x^3=7+3\sqrt[3]{10}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right). $$

Следовательно,

$$x^3=7+3\sqrt[3]{10}\,x,$$

откуда

$$ \sqrt[3]{10}=\frac{x^3-7}{3x}. $$

Предположим, что число $$x$$ рационально. Тогда правая часть последнего равенства рациональна, значит, рационально и число $$\sqrt[3]{10}$$. Но это невозможно, так как $$\sqrt[3]{10}$$ иррационально.

Значит, предположение неверно, и число $$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}$$ иррационально.