Упр.12.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.34. Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число 3^(1/3)+9^(1/3) является его корнем.

Обозначим

$$x=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}.$$

Тогда

$$x^3=\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)^3.$$

Раскроем куб суммы:

$$x^3=3+3\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}+3\sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{81}+9.$$

Так как

$$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{9}\cdot\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{729}=9,$$

то

$$x^3=3+3\cdot 3+3\cdot 9+9=12+3\sqrt[3]{27}\,x.$$

Поскольку $$\sqrt[3]{27}=3,$$ получаем

$$x^3=12+9x.$$

Следовательно, число $$\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$$ является корнем многочлена

$$x^3-9x-12.$$

Ответ

$$x^3-9x-12$$