Упр.12.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.33. Упростите выражение (a^(1/64)+1)(a^(1/32)+1)…(va+1).

Преобразуем произведение, последовательно используя формулу разности квадратов:

$$ (\sqrt[64]{a}+1)(\sqrt[32]{a}+1)\cdots(\sqrt{a}+1) $$

$$ =\frac{(\sqrt[64]{a}-1)(\sqrt[64]{a}+1)}{\sqrt[64]{a}-1}\cdot(\sqrt[32]{a}+1)\cdots(\sqrt{a}+1) =\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}. $$

Если $$a=1$$, то исходное выражение равно

$$ (1+1)(1+1)\cdots(1+1)=2^6=64. $$

Если $$a\ne 1$$, то получаем

$$ \frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}. $$

Ответ

$$ \begin{cases} 64, & a=1,\\ \dfrac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}, & a\ne 1. \end{cases} $$