Упр.12.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.32. Упростите выражение (2^(1/32)+1)(2^(1/16)+1)(2^(1/8)+1)(2^(1/4)+1)(v2+1).

Обозначим $$a=\sqrt[32]{2}.$$ Тогда

$$ \left(\sqrt[32]{2}+1\right)\left(\sqrt[16]{2}+1\right)\left(\sqrt[8]{2}+1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)(\sqrt{2}+1) $$
$$ =(a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)(a^{16}+1). $$

Последовательно применим формулу $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$:

$$ (a-1)(a+1)=a^2-1, $$
$$ (a^2-1)(a^2+1)=a^4-1, $$
$$ (a^4-1)(a^4+1)=a^8-1, $$
$$ (a^8-1)(a^8+1)=a^{16}-1, $$
$$ (a^{16}-1)(a^{16}+1)=a^{32}-1. $$

Значит, исходное выражение равно

$$ \frac{a^{32}-1}{a-1}. $$

Так как $$a^{32}=2,$$ получаем

$$ \frac{2-1}{\sqrt[32]{2}-1}=\frac{1}{\sqrt[32]{2}-1}. $$

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt[32]{2}-1}$$