Упр.12.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.31. Докажите, что (20+14v2)^(1/3)+(20-14v2)^(1/3)=4.

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}, \qquad b=\sqrt[3]{20-14\sqrt2}.$$

Тогда

$$a^3+b^3=(20+14\sqrt2)+(20-14\sqrt2)=40,$$

а также

$$ab=\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2.$$

Используем формулу куба суммы:

$$ (a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3. $$

Подставим найденные значения:

$$ (a+b)^3=40+3\cdot 2(a+b)=40+6(a+b). $$

Пусть $$x=a+b$$. Тогда

$$x^3=40+6x,$$

то есть

$$x^3-6x-40=0.$$

Проверим значение $$x=4$$:

$$4^3-6\cdot 4-40=64-24-40=0.$$

Значит, $$x=4$$ — корень уравнения. Следовательно,

$$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4.$$

Ответ

$$4$$