Упр.12.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (7+5v2)^(1/3)+(7-5v2)^(1/3); 2) (6v3+10)^(1/3)-(6v3-10)^(1/3);

1) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}, \quad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$

Тогда

$$a^3+b^3=(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=14,$$

$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1.$$

Используем формулу

$$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b). $$

Пусть $$x=a+b$$. Тогда

$$x^3=14+3(-1)x,$$

то есть

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим целый корень: при $$x=2$$ получаем

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Значит, $$x=2$$, то есть

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=2.$$

2) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{6\sqrt3+10}, \quad b=\sqrt[3]{6\sqrt3-10}.$$

Тогда

$$a^3-b^3=(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)=20,$$

$$ab=\sqrt[3]{(6\sqrt3+10)(6\sqrt3-10)}=\sqrt[3]{108-100}=\sqrt[3]{8}=2.$$

Используем формулу

$$ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a^3-b^3)-3ab(a-b). $$

Пусть $$x=a-b$$. Тогда

$$x^3=20-3\cdot2x,$$

то есть

$$x^3+6x-20=0.$$

Проверим $$x=2$$:

$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$

Следовательно, $$x=2$$, значит

$$\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$2$$.