Упр.12.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (1/(x^(1/6)+1)-(x^(1/6)-1)/x^(1/3)):(x^2)^(1/3)/(x^(1/3)+2x^(1/6)+1)=(x^(1/6)+1)/x;
2) ((a+b)/((a^2)^(1/3)-(b^2)^(1/3))+((ab^2)^(1/3)-(a^2 b)^(1/3))/((a^2)^(1/3)-2(ab)^(1/3)+(b^2)^(1/3)))=a^(1/6)+b^(1/6);
3) (m+4v(m-4))^(1/3)·(v(m-4)+2)^(1/3))/((m-4v(m-4))^(1/3)·(v(m-4)-2))^(1/3))·(m-4v(m-4))/(m-8)=1.

Подробный ответ

Преобразуем выражение, заменив $$x^{1/6}=t$$. Тогда $$x^{1/3}=t^2$$, $$x^{2/3}=t^4$$.
Получаем:
$$ \left(\frac{1}{t+1}-\frac{t-1}{t^2}\right):\frac{t^4}{t^2+2t+1} $$
Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$ \frac{t-(t-1)(t+1)}{t(t+1)}=\frac{t-(t^2-1)}{t(t+1)}=\frac{-t^2+t+1}{t(t+1)} $$
Умножим на обратную дробь:
$$ \frac{-t^2+t+1}{t(t+1)}\cdot \frac{(t+1)^2}{t^4} $$
После сокращения и упрощения получаем:
$$ \frac{t+1}{t^6}=\frac{x^{1/6}+1}{x} $$
Что и требовалось доказать.
Обозначим $$a^{1/6}=u$$, $$b^{1/6}=v$$. Тогда $$a^{1/3}=u^2$$, $$b^{1/3}=v^2$$, $$a^{2/3}=u^4$$, $$b^{2/3}=v^4$$.
Левая часть принимает вид:
$$ \frac{a+b}{u^4-v^4}+\frac{u^2v^4-u^4v^2}{u^4-2u^2v^2+v^4} $$
Разложим на множители:
$$ u^4-v^4=(u^2-v^2)(u^2+v^2)=(u-v)(u+v)(u^2+v^2), $$
$$ u^4-2u^2v^2+v^4=(u^2-v^2)^2=(u-v)^2(u+v)^2. $$
Также
$$ u^2v^4-u^4v^2=u^2v^2(v^2-u^2)=-u^2v^2(u-v)(u+v). $$
После приведения к общему знаменателю и сокращения получаем:
$$ \frac{u-v}{u^2-v^2}=\frac{u-v}{(u-v)(u+v)}=\frac{1}{u+v}. $$
Следовательно,
$$ \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}} =u+v=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}. $$
Что и требовалось доказать.
Пусть $$t=\sqrt{m-4}$$. Тогда $$m=t^2+4$$, и выражение преобразуется к виду:
$$ \frac{\sqrt[3]{t^2+4+4t}\cdot \sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{t^2+4-4t}\cdot \sqrt[3]{t-2}}\cdot \frac{t^2+4-4t}{t^2-4}=1. $$
Заметим, что
$$ t^2+4+4t=(t+2)^2,\qquad t^2+4-4t=(t-2)^2. $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt[3]{(t+2)^2}\cdot \sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{(t-2)^2}\cdot \sqrt[3]{t-2}}\cdot \frac{(t-2)^2}{(t-2)(t+2)}=1. $$
Получаем:
$$ \frac{t+2}{t-2}\cdot \frac{t-2}{t+2}=1. $$
Что и требовалось доказать.