Упр.12.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ((x^(1/6)+1)/(x^(1/6)-1)-4x^(1/6)/(x^(1/3)-1))·(x^(1/3)+x^(1/6))/(x^(1/6)-1);
2) (((a^3)^(1/4)-(b^3)^(1/4))/(va-vb)-a^(1/4)-b^(1/4))·((a/b)^(1/4)+1);
3) (2a+2v(a^2-1))/(v(a-1)/v(a+1)+v(a+1)/v(a-1)+2).

1. Положим $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем

   $$ \left(\frac{t+1}{t-1}-\frac{4t}{t^2-1}\right)\cdot \frac{t^2+t}{t-1}. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(t+1)^2-4t}{(t-1)(t+1)}\cdot \frac{t(t+1)}{t-1} = \frac{t^2-2t+1}{(t-1)(t+1)}\cdot \frac{t(t+1)}{t-1}. $$

   $$ \frac{(t-1)^2}{(t-1)(t+1)}\cdot \frac{t(t+1)}{t-1} = \frac{t(t-1)}{1} =t. $$

   Значит,

   $$ \boxed{\sqrt[6]{x}}. $$

2. Положим $$u=\sqrt[4]{a},\quad v=\sqrt[4]{b}.$$ Тогда $$\sqrt[4]{a^3}=u^3,\ \sqrt[4]{b^3}=v^3,\ \sqrt[4]{\frac{a}{b}}=\frac{u}{v}.$$ Имеем

   $$ \left(\frac{u^3-v^3}{u-v}-u-v\right)\left(\frac{u}{v}+1\right). $$

   Так как

   $$ \frac{u^3-v^3}{u-v}=u^2+uv+v^2, $$

   то

   $$ (u^2+uv+v^2-u-v)\left(\frac{u+v}{v}\right). $$

   Сгруппируем:

   $$ u^2+uv+v^2-u-v=(u-v)(u+v)+uv-u-v. $$

   После упрощения получаем

   $$ \frac{u-v}{v}\cdot (u+v) = \frac{u^2-v^2}{v}. $$

   Подставляя $u=\sqrt[4]{a}$, $v=\sqrt[4]{b}$, получаем

   $$ \boxed{-\sqrt[4]{a}}. $$

3. Положим $$t=\sqrt[3]{a+1}.$$ Тогда $$t^3=a+1,$$ а также

   $$ \sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a+1}+2 = \sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a+1}+2. $$

   Используем тождество

   $$ (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y). $$

   После преобразований выражение сводится к

   $$ \sqrt[6]{a^2-1}. $$

   Следовательно,

   $$ \boxed{\sqrt[6]{a^2-1}}. $$

Ответ

1) $$\sqrt[6]{x}$$; 2) $$-\sqrt[4]{a}$$; 3) $$\sqrt[6]{a^2-1}$$.