Упр.12.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (7-4v3)^(1/6)·(2+v3)^(1/3);
2) v(2v6-1)·(25+4v6)^(1/4).

1) $$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{2+\sqrt3}$$

Заметим, что

$$7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2,$$

тогда

$$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}=\sqrt[6]{(2-\sqrt3)^2}=\sqrt[3]{2-\sqrt3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{2+\sqrt3}=\sqrt[3]{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\sqrt[3]{4-3}=\sqrt[3]{1}=1.$$

2) $$\sqrt{2\sqrt6-1}\cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt6}$$

Представим подкоренное выражение во второй степени в виде квадрата:

$$25+4\sqrt6=24+2\cdot 2\sqrt6+1=(2\sqrt6+1)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{25+4\sqrt6}=\sqrt[4]{(2\sqrt6+1)^2}=\sqrt{2\sqrt6+1}.$$

Получаем

$$\sqrt{2\sqrt6-1}\cdot \sqrt{2\sqrt6+1}=\sqrt{(2\sqrt6-1)(2\sqrt6+1)}=\sqrt{(2\sqrt6)^2-1^2}=\sqrt{24-1}=\sqrt{23}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\sqrt{23}$$.