Упр.12.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (v10-3)^(1/3)·(19+6v10)^(1/6);
2) v(4+2v2)·(6-4v2)^(1/4).

1) Преобразуем выражение:

$$ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}} $$

Заметим, что

$$ 19+6\sqrt{10}=10+6\sqrt{10}+9=(\sqrt{10}+3)^2. $$

Тогда

$$ \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}=\sqrt[6]{(\sqrt{10}+3)^2}=\sqrt[3]{\sqrt{10}+3}. $$

Получаем:

$$ \sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{10}+3} =\sqrt[3]{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)} =\sqrt[3]{10-9} =\sqrt[3]{1}=1. $$

2) Аналогично:

$$ \sqrt{4+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} $$

Представим второй множитель так:

$$ 6-4\sqrt{2}=4-2\cdot 2\sqrt{2}+2=(2-\sqrt{2})^2. $$

Тогда

$$ \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}=\sqrt[4]{(2-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{4+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} =\sqrt{(4+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}. $$

Вычислим подкоренное выражение:

$$ (4+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4=4. $$

Значит,

$$ \sqrt{4}=2. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$.