Упр.12.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1/((1^2)^(1/3)+(1·2)^(1/3)+(2^2)^(1/3))+1/((2^2)^(1/3)+(2·3)^(1/3)+(3^2)^(1/3))+…+1/((999^2)^(1/3)+(999·1000)^(1/3)+(1000^2)^(1/3)).

Преобразуем каждый знаменатель:

$$ \sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2} = \sqrt[3]{k}\left(\sqrt[3]{k}+\sqrt[3]{k+1}+\sqrt[3]{k+1}\right) $$

Удобнее заметить, что

$$ \sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2} = \frac{\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}}{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}}{\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}} $$

Используем формулу разности кубов:

$$ (\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}) \left(\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}\right) =(k+1)-k=1. $$

Значит,

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}} = \sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}. $$

Тогда исходная сумма равна

$$ (\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1})+(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})+\cdots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}). $$

Это телескопическая сумма, поэтому все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$ \sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{1}=10-1=9. $$

Ответ

$$9$$