Упр.12 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
1) $$y=2\sqrt{2x-1}+1$$;
2) $$y=4\sqrt{2x-3}-1$$;
3) $$y=3(2x+1)^2-2$$;
4) $$y=2(3x-1)^2+1$$;
5) $$y=\sqrt{1-|x|}$$;
6) $$y=\frac{1}{|x|-4}$$;
7) $$y=\frac{1}{|x+1|-3}$$;
8) $$y=(|x+1|+2)^2$$.

Подробный ответ

Преобразуем каждую функцию к виду, удобному для построения графика, и укажем основные опорные точки.

$$y=2\sqrt{3x-1}+1$$
Область определения: $$3x-1\ge 0,\quad x\ge \frac13.$$
Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сжатый по оси $$x$$ в $$3$$ раза, растянутый по оси $$y$$ в $$2$$ раза и сдвинутый вверх на $$1$$.
Опорные точки:
$$3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13,\ y=1$$
$$3x-1=1 \Rightarrow x=\frac23,\ y=3$$
$$3x-1=4 \Rightarrow x=\frac53,\ y=5$$
$$y=4\sqrt{2x-3}-1$$
Область определения: $$2x-3\ge 0,\quad x\ge \frac32.$$
Это график $$y=\sqrt{x}$$, сжатый по оси $$x$$ в $$2$$ раза, растянутый по оси $$y$$ в $$4$$ раза и сдвинутый вниз на $$1$$.
Опорные точки:
$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,\ y=-1$$
$$2x-3=1 \Rightarrow x=2,\ y=3$$
$$2x-3=4 \Rightarrow x=\frac72,\ y=7$$
$$y=3(2x+1)^2-2$$
Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина:
$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,\quad y=-2.$$
Ось симметрии: $$x=-\frac12.$$
Опорные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=3\cdot 1-2=1$$
$$x=-1 \Rightarrow y=3\cdot 1-2=1$$
$$y=2(3x-1)^2+1$$
Это парабола, ветви направлены вверх. Вершина:
$$3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13,\quad y=1.$$
Ось симметрии: $$x=\frac13.$$
Опорные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=2\cdot 1+1=3$$
$$x=\frac23 \Rightarrow y=2\cdot 1+1=3$$
$$y=\sqrt{1-|x|}$$
Область определения: $$1-|x|\ge 0,\quad |x|\le 1,\quad -1\le x\le 1.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
Опорные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=1$$
$$x=\pm 1 \Rightarrow y=0$$
$$y=\frac{1}{|x|-4}$$
Область определения: $$|x|-4\ne 0,\quad x\ne \pm 4.$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-4$$ и $$x=4.$$
Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
Опорные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=-\frac14$$
$$x=\pm 5 \Rightarrow y=1$$
$$y=\frac{1}{|x+1|-3}$$
Область определения: $$|x+1|-3\ne 0,\quad |x+1|\ne 3,$$ то есть $$x\ne 2$$ и $$x\ne -4.$$
Вертикальные асимптоты: $$x=2$$ и $$x=-4.$$
Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
График симметричен относительно прямой $$x=-1.$$
Опорные точки:
$$x=-1 \Rightarrow y=-\frac13$$
$$x=0 \Rightarrow y=-\frac12$$
$$y=(|x+1|+2)^2$$
Так как $$|x+1|\ge 0$$, наименьшее значение достигается при $$x=-1$$:
$$y_{\min}=(0+2)^2=4.$$
График симметричен относительно прямой $$x=-1.$$
Опорные точки:
$$x=-1 \Rightarrow y=4$$
$$x=0 \Rightarrow y=9$$
$$x=-2 \Rightarrow y=9$$