Упр.12.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) (a^(1/6)+1)/(a^(1/3)-1);
2) (vm-(mn)^(1/4))/((mn)^(1/4)-vn);
3) (a-b)/(a^(1/3)-b^(1/3));
4) (avb-bva)/v(ab);
5) ((ab)^(1/3)+a^(1/3))/((a^2 b^2)^(1/3)+(a^2 b)^(1/3));
6) (3+3^(1/4))/3^(1/4).
$$\frac{a^{1/6}+1}{a^{1/3}-1}=\frac{a^{1/6}+1}{\left(a^{1/6}\right)^2-1}=\frac{a^{1/6}+1}{(a^{1/6}-1)(a^{1/6}+1)}=\frac{1}{a^{1/6}-1}.$$
$$\frac{\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)}.$$
Так как $$\sqrt[4]{mn}=\sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n},$$ то
$$\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{mn}=\sqrt[4]{m}\left(1-\sqrt[4]{n}\right),$$
а
$$\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}=\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}.$$
Удобнее представить числитель так:
$$\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{mn}=\sqrt[4]{m}\left(1-\sqrt[4]{n}\right),$$
$$\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}=\sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right).$$
После сокращения получаем
$$\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}=\sqrt[4]{\frac{m}{n}}.$$$$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}.$$
Сокращаем:
$$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$$$\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a^2b}-\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}}.$$
Вынесем $$\sqrt{ab}$$ в числителе:
$$\sqrt{a^2b}-\sqrt{ab^2}=\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}-\sqrt{b}).$$
Тогда
$$\frac{\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}.$$$$\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a}\left(\sqrt[3]{b}+1\right)}{\sqrt[3]{a^2b}\left(\sqrt[3]{b}+1\right)}.$$
Сокращаем на $$\sqrt[3]{b}+1$$:
$$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}.$$$$\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}\left(\sqrt[4]{3^3}+1\right)}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{27}+1.$$
Ответ
1) $$\frac{1}{a^{1/6}-1}$$; 2) $$\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$$; 3) $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$; 4) $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$; 5) $$\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$$; 6) $$\sqrt[4]{27}+1$$.
