Упр.12.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x^2-4)^(1/4)=(x-2)^(1/4)·(x+2)^(1/4);
2) ((x-3)(7-x))^(1/8)=(x-3)^(1/8)·(7-x)^(1/8)?

1) Чтобы равенство

$$\sqrt[4]{x^2-4}=\sqrt[4]{x-2}\cdot\sqrt[4]{x+2}$$

было верным, все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$$x-2\ge 0,\quad x+2\ge 0,\quad x^2-4\ge 0.$$

Из первых двух неравенств получаем $$x\ge 2.$$ При этом

$$x^2-4=(x-2)(x+2)\ge 0$$

при $$x\ge 2.$$ Значит, равенство выполняется при

$$x\in[2;+\infty).$$

2) Для равенства

$$\sqrt[8]{(x-3)(7-x)}=\sqrt[8]{x-3}\cdot\sqrt[8]{7-x}$$

нужно, чтобы были определены все корни:

$$x-3\ge 0,\quad 7-x\ge 0.$$

Отсюда

$$3\le x\le 7.$$

Тогда

$$ (x-3)(7-x)\ge 0, $$

и равенство выполняется на всей найденной области определения.

Ответ

1) $$[2;+\infty)$$

2) $$[3;7]$$