Упр.12.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (ab)^(1/4)=(-a)^(1/4)·(-b)^(1/4);
2) (-ab)^(1/4)=a^(1/4)·(-b)^(1/4);
3) (ab)^(1/5)=(-a)^(1/5)·(-b)^(1/5)?

1. Чтобы выражения с четвёртыми корнями были определены, нужно:
   $$ab \ge 0,\quad -a \ge 0,\quad -b \ge 0.$$
   Отсюда
   $$a \le 0,\quad b \le 0.$$
   При этих значениях
   $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}.$$
2. Для равенства
   $$\sqrt[4]{-ab}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$
   должны существовать оба корня справа, значит
   $$a \ge 0,\quad -b \ge 0,$$
   то есть
   $$a \ge 0,\quad b \le 0.$$
   Тогда и слева
   $$-ab \ge 0,$$
   поэтому равенство выполняется.
3. В случае пятого корня ограничений на знак нет, так как корень нечётной степени определён при любых действительных значениях:
   $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}.$$
   Следовательно,
   $$a \in \mathbb{R},\quad b \in \mathbb{R}.$$

Ответ

1) $$a \le 0,\ b \le 0$$

2) $$a \ge 0,\ b \le 0$$

3) $$a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R}$$