Упр.12.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (a^30)^(1/6)=a^5; 3) (a^4)^(1/4)=(a^(1/4))^4;
2) (a^30)^(1/6)=-a^5; 4) (a^4)^(1/4)=(-a^(1/4))^4?

1. $$\sqrt[6]{a^{30}}=a^5$$

   Чтобы левая часть была определена, нужно

   $$a^{30}\ge 0,$$

   что верно при любом $$a\in \mathbb{R}$$. Но так как корень шестой степени неотрицателен, то и правая часть должна быть неотрицательной:

   $$a^5\ge 0 \;\Rightarrow\; a\ge 0.$$

   При $$a\ge 0$$ имеем $$\sqrt[6]{a^{30}}=a^5$$.

2. $$\sqrt[6]{a^{30}}=-a^5$$

   Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной:

   $$-a^5\ge 0 \;\Rightarrow\; a\le 0.$$

   При $$a\le 0$$ равенство выполняется.

3. $$\sqrt[4]{a^4}=\left(\sqrt[4]{a}\right)^4$$

   Для существования правой части нужно

   $$a\ge 0.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{a^4}=a,\qquad \left(\sqrt[4]{a}\right)^4=a,$$

   то есть равенство верно при всех $$a\ge 0$$.

4. $$\sqrt[4]{a^4}=\left(\sqrt[4]{-a}\right)^4$$

   Чтобы правая часть была определена, нужно

   $$-a\ge 0 \;\Rightarrow\; a\le 0.$$

   При $$a\le 0$$

   $$\sqrt[4]{a^4}=|a|=-a,\qquad \left(\sqrt[4]{-a}\right)^4=-a,$$

   значит равенство выполняется.

Ответ

1) $$[0;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;0]$$; 3) $$[0;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;0]$$.