Упр.12.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ((a-5)^4)^(1/3)=((a-5)^(1/3))^4; 3) (a(a-1))^(1/6)=a^(1/6) (1-a)^(1/6);
2) ((a-2)^4)^(1/4)=((a-2)^(1/4))^4; 4) (a-2)^(1/12) (3-a)^(1/12)=((2-a)(a-3))^(1/12)?

1. $$\sqrt[3]{(a-5)^4}=\left(\sqrt[3]{a-5}\right)^4$$
   
   Так как корень третьей степени определён при любых значениях подкоренного выражения, то ограничений на $$a$$ нет.
   
   Следовательно, равенство выполняется при всех $$a\in\mathbb{R}$$.
2. $$\sqrt[4]{(a-2)^4}=\left(\sqrt[4]{a-2}\right)^4$$
   
   Правая часть определена только при $$a-2\ge 0$$, то есть при $$a\ge 2$$.
   
   При этих значениях обе части равны $$a-2$$, значит равенство выполняется при
   $$a\in[2;+\infty).$$
3. $$\sqrt[6]{a(a-1)}=\sqrt[6]{a}\cdot\sqrt[6]{1-a}$$
   
   Для существования правой части нужно:
   $$a\ge 0,\qquad 1-a\ge 0,$$
   откуда
   $$0\le a\le 1.$$
   
   Левая часть определена, если
   $$a(a-1)\ge 0,$$
   то есть
   $$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
   
   Пересечение условий:
   $$\{0,1\}.$$
4. $$\sqrt[12]{a-2}\cdot\sqrt[12]{3-a}=\sqrt[12]{(2-a)(a-3)}$$
   
   Левая часть определена при
   $$a-2\ge 0,\qquad 3-a\ge 0,$$
   то есть
   $$2\le a\le 3.$$
   
   Правая часть определена, если
   $$(2-a)(a-3)\ge 0,$$
   что также даёт
   $$2\le a\le 3.$$
   
   Значит, равенство выполняется при
   $$a\in[2;3].$$

Ответ

1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$[2;+\infty)$$; 3) $$\{0,1\}$$; 4) $$[2;3]$$.