Упр.12 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) y=2v(2x-1)+1; 5) y=v(1-|x|);
2) y=4v(2x-3)-1; 6) y=1/(|x|-4);
3) y=3(2x+1)^2-2; 7) y=1/(|x+1|-3);
4) y=2(3x-1)^2+1; 8) y=(|x+1|+2)^2.
$$y=2\sqrt{3x-1}+1$$
Берём график функции $$y=\sqrt{x}$$.
Преобразования:
- сжатие по оси $$x$$ в 3 раза: $$y=\sqrt{3x}$$;
- сдвиг вправо на $$\frac13$$: $$y=\sqrt{3x-1}$$;
- растяжение по оси $$y$$ в 2 раза: $$y=2\sqrt{3x-1}$$;
- сдвиг вверх на 1: $$y=2\sqrt{3x-1}+1$$.
Область определения: $$3x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac13$$.
$$y=4\sqrt{2x-3}-1$$
Берём график функции $$y=\sqrt{x}$$.
Преобразования:
- сжатие по оси $$x$$ в 2 раза и сдвиг вправо на $$\frac32$$: $$y=\sqrt{2x-3}$$;
- растяжение по оси $$y$$ в 4 раза: $$y=4\sqrt{2x-3}$$;
- сдвиг вниз на 1: $$y=4\sqrt{2x-3}-1$$.
Область определения: $$2x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac32$$.
$$y=3(2x+1)^2-2$$
Берём график функции $$y=x^2$$.
Преобразования:
- сжатие по оси $$x$$ в 2 раза и сдвиг влево на $$\frac12$$: $$y=(2x+1)^2$$;
- растяжение по оси $$y$$ в 3 раза: $$y=3(2x+1)^2$$;
- сдвиг вниз на 2: $$y=3(2x+1)^2-2$$.
Вершина параболы: $$\left(-\frac12,-2\right)$$, ветви направлены вверх.
$$y=2(3x-1)^2+1$$
Берём график функции $$y=x^2$$.
Преобразования:
- сжатие по оси $$x$$ в 3 раза и сдвиг вправо на $$\frac13$$: $$y=(3x-1)^2$$;
- растяжение по оси $$y$$ в 2 раза: $$y=2(3x-1)^2$$;
- сдвиг вверх на 1: $$y=2(3x-1)^2+1$$.
Вершина параболы: $$\left(\frac13,1\right)$$, ветви направлены вверх.
$$y=\sqrt{1-|x|}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$1-|x|\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\le 1.$$
Значит, область определения: $$-1\le x\le 1$$.
График симметричен относительно оси $$Oy$$. Удобно построить его по частям:
$$y=\sqrt{1-x}, \quad 0\le x\le 1,$$
и
$$y=\sqrt{1+x}, \quad -1\le x\le 0.$$
Опорные точки: $$(-1,0)$$, $$\left(0,1\right)$$, $$ (1,0)$$.
$$y=\frac{1}{|x|-4}$$
Область определения: $$|x|-4\ne 0$$, то есть $$x\ne -4$$ и $$x\ne 4$$.
График удобно рассматривать по частям:
$$y=\frac{1}{x-4}, \quad x\ge 0,$$
$$y=\frac{1}{-x-4}=-\frac{1}{x+4}, \quad x<0.$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-4$$ и $$x=4$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
$$y=\frac{1}{|x+1|-3}$$
Область определения: $$|x+1|-3\ne 0$$, то есть $$|x+1|\ne 3$$.
Отсюда:
$$x\ne 2, \quad x\ne -4.$$
График удобно рассматривать по частям:
$$y=\frac{1}{x-2}, \quad x\ge -1,$$
$$y=\frac{1}{-x-4}=-\frac{1}{x+4}, \quad x<-1.$$
Вертикальные асимптоты: $$x=2$$ и $$x=-4$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
$$y=(|x+1|+2)^2$$
График функции $$y=x^2$$ сначала сдвигается влево на 1: $$y=(x+1)^2$$, затем модуль делает график симметричным относительно прямой $$x=-1$$, а прибавление 2 внутри скобок поднимает вершину вверх.
Удобно записать по частям:
$$ y= \begin{cases} (x+3)^2, & x\ge -1,\\ (1-x)^2, & x<-1. \end{cases} $$
Вершина графика: $$(-1,4)$$.
Ответ
Графики построены; для функций с корнем и дробью учтены области определения и асимптоты, для квадратных функций указаны вершины и преобразования графика.
