Упр.12.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 12.10. Упростите выражение (vm+vn)(m^(1/4)+n^(1/4))(m^(1/8)+n^(1/8))(m^(1/8)-n^(1/8)).

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n}) $$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$ (\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n})=(\sqrt[8]{m})^2-(\sqrt[8]{n})^2=\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n} $$

Тогда получаем:

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}) $$

Теперь снова применим формулу разности квадратов:

$$ (\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})=\sqrt{m}-\sqrt{n} $$

Следовательно, выражение равно:

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})=m-n $$

Ответ

$$m-n$$