Упр.11.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.33. Решите уравнение x^3+2=3(3x-2)^(1/3).

Преобразуем уравнение:

$$x^3+2=3\sqrt[3]{3x-2}$$

$$\frac{x^3+2}{3}=\sqrt[3]{3x-2}$$

Возведём обе части в куб:

$$\left(\frac{x^3+2}{3}\right)^3=3x-2$$

Удобнее заметить, что достаточно проверить равенство аргументов при взаимно обратных функциях:

$$y=\sqrt[3]{3x-2}, \qquad y=\frac{x^3+2}{3}$$

Тогда искомые значения удовлетворяют уравнению

$$x=\frac{x^3+2}{3}$$

$$3x=x^3+2$$

$$x^3-3x+2=0$$

Проверим целые корни. При $$x=1$$:

$$1^3-3\cdot 1+2=0$$

Значит, $$x-1$$ — множитель:

$$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$$

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$$

Тогда

$$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-2$$

Проверка подстановкой показывает, что оба корня подходят.

Ответ

$$-2;\ 1$$