Упр.11.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.32. Решите уравнение x^3+1=2(2x-1)^(1/3).

Преобразуем уравнение:

$$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$\frac{x^3+1}{2}=\sqrt[3]{2x-1}$$

Возведём обе части в куб:

$$\left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3=2x-1$$

Но удобнее заметить, что при равенстве двух выражений вида $$a=\sqrt[3]{b}$$ можно проверить совпадение аргументов через подстановку. Рассмотрим функцию

$$f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, \qquad g(x)=\frac{x^3+1}{2}.$$

Ищем точки пересечения графиков, то есть решаем уравнение

$$\sqrt[3]{2x-1}=\frac{x^3+1}{2}.$$

Возведём обе части в куб:

$$2x-1=\left(\frac{x^3+1}{2}\right)^3.$$

Проверим, что корни исходного уравнения удовлетворяют более простому равенству

$$x^3-2x+1=0.$$

Разложим многочлен на множители:

$$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1).$$

Тогда

$$ (x-1)(x^2+x-1)=0, $$

откуда

$$x=1$$

или

$$x^2+x-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+4=5,$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Проверка подстановкой показывает, что все найденные значения подходят.

Ответ

$$1,\ \frac{-1-\sqrt5}{2},\ \frac{\sqrt5-1}{2}$$