Упр.11.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.30. Найдите целую часть числа (24+(24+(…+24^(1/3))^(1/3))^(1/3). 100 радикалов

Обозначим данное число через $$M.$$ Тогда

$$M=\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{\dots+\sqrt[3]{24}}}}.$$

Так как $$24$$ лежит между $$8$$ и $$27$$, то

$$2<\sqrt[3]{24}<3.$$

Оценим число $$M$$ снизу и сверху.

Если заменить внутренние радикалы на $$\sqrt[3]{8}=2$$, то получим нижнюю границу:

$$M>\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots+\sqrt[3]{8}}}>\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots+2}}>\sqrt[3]{24+2}=\sqrt[3]{26}>2.$$

Если заменить внутренние радикалы на $$\sqrt[3]{27}=3$$, то получим верхнюю границу:

$$M<\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots+\sqrt[3]{27}}}<\sqrt[3]{24+\sqrt[3]{24+\dots+3}}<\sqrt[3]{24+3}=\sqrt[3]{27}=3.$$

Значит,

$$2<M<3.$$

Следовательно, целая часть числа $$M$$ равна $$2$$.

Ответ

$$2$$