Упр.11.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.29. Решите систему уравнений {x+x^(1/5)=y+y^(1/5), x^2+y^2=2}.

Рассмотрим функцию $$f(t)=t+\sqrt[5]{t}.$$

Она строго возрастает на $$\mathbb{R},$$ так как обе функции $$t$$ и $$\sqrt[5]{t}$$ возрастают на всей числовой прямой. Значит, из равенства

$$x+\sqrt[5]{x}=y+\sqrt[5]{y}$$

следует, что $$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x^2+y^2=2$$

$$x^2+x^2=2$$

$$2x^2=2$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1.$$

Так как $$y=x,$$ получаем пары:

$$(-1,-1), \quad (1,1).$$

Ответ

$$( -1,-1),\ (1,1).$$