Упр.11.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.28. Решите систему уравнений {x+x^(1/6)=y+y^(1/6), x^2+xy+y^2=27}.

Рассмотрим функцию $$f(t)=t+\sqrt[6]{t}, \quad t\ge 0.$$

Она возрастает при $$t\ge 0,$$ значит из равенства

$$x+\sqrt[6]{x}=y+\sqrt[6]{y}$$

следует, что $$x=y.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x^2+xy+y^2=27$$

$$x^2+x^2+x^2=27$$

$$3x^2=27$$

$$x^2=9.$$

Так как $$x\ge 0,$$ получаем $$x=3.$$ Тогда $$y=3.$$

Ответ

$$(3;\,3)$$