Упр.11.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 11.27. Решите уравнение (x-9)^(1/3)+(x+6)^(1/4)=3.

Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt[4]{x+6}, \qquad g(x)=\sqrt[3]{x-9}.$$

Тогда уравнение можно записать в виде

$$f(x)+g(x)=3.$$

Функция $$f(x)=\sqrt[4]{x+6}$$ определена при $$x\ge -6$$ и возрастает на своей области определения. Функция $$g(x)=\sqrt[3]{x-9}$$ также возрастает при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Сумма двух возрастающих функций тоже возрастает, значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=10$$:

$$\sqrt[3]{10-9}+\sqrt[4]{10+6}=\sqrt[3]{1}+\sqrt[4]{16}=1+2=3.$$

Следовательно, $$x=10$$ — решение уравнения, и оно единственное.

Ответ

$$10$$