Упр.11.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (x+1)(x-a)^(1/4)=0; 2) (x-1)(x^(1/4)-a)=0.

Подробный ответ

1) $$\left(x+1\right)\sqrt[4]{x-a}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x+1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x-a}=0.$$

Отсюда

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x-a=0,\; x=a.$$

Но для существования корня четвёртой степени нужно $$x-a\ge 0.$$

Проверим найденные значения:

при $$x=-1$$ нужно $$-1-a\ge 0,$$ то есть $$a\le -1;$$
при $$x=a$$ получаем $$\sqrt[4]{a-a}=0,$$ это значение подходит при любом $$a.$$

Если $$a<-1,$$ то оба значения $$x=-1$$ и $$x=a$$ различны, значит, корней два.

Если $$a\ge -1,$$ то значение $$x=-1$$ не подходит или совпадает с $$x=a$$ только при $$a=-1,$$ поэтому корень один.

2) $$\left(x-1\right)\left(\sqrt[4]{x}-a\right)=0.$$

Тогда

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x}-a=0.$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x}=a \Rightarrow x=a^4.$$

Так как $$\sqrt[4]{x}$$ определён только при $$x\ge 0,$$ то для второго корня нужно $$a\ge 0.$$

Проверим случаи:

если $$a<0,$$ то уравнение $$\sqrt[4]{x}=a$$ решений не имеет, остаётся только $$x=1$$;
если $$a\ge 0$$ и $$a^4\ne 1,$$ то корни $$x=1$$ и $$x=a^4$$ различны, значит, их два;
если $$a\ge 0$$ и $$a^4=1,$$ то $$a=1$$ и оба корня совпадают, значит, корень один.