Упр.11.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-a)(x+1)^(1/4)=0; 2) (x-a)(x^(1/4)+1)=0; 3) (x-a)(x^(1/4)-1)=0.

1. $$ (x-a)\sqrt[4]{x+1}=0 $$
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
   $$ x-a=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x+1}=0. $$
   Отсюда
   $$ x=a \quad \text{или} \quad x=-1. $$
   Но корень $$x=-1$$ допустим только при $$x+1\ge 0$$, то есть он подходит.
   Если $$a=-1$$, оба множителя дают один и тот же корень, значит корень один.
   Если $$a\ne -1$$, получаем два различных корня.

   Значит:
   $$ \text{если } a=-1,\ \text{то 1 корень;} $$
   $$ \text{если } a\ne -1,\ \text{то 2 корня.} $$

2. $$ (x-a)(\sqrt[4]{x}+1)=0 $$
   Тогда
   $$ x-a=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x}+1=0. $$
   Из второго уравнения:
   $$ \sqrt[4]{x}=-1, $$
   что невозможно, так как четвёртый корень неотрицателен.
   Поэтому остаётся только
   $$ x=a, $$
   но это возможно лишь при $$a\ge 0$$, так как область определения: $$x\ge 0$$.

   Значит:
   $$ \text{если } a<0,\ \text{то 0 корней;} $$ $$ \text{если } a\ge 0,\ \text{то 1 корень.} $$

3. $$ (x-a)(\sqrt[4]{x}-1)=0 $$
   Тогда
   $$ x-a=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x}-1=0. $$
   Из второго уравнения:
   $$ \sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1. $$
   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Если $$a=1$$, оба множителя дают один и тот же корень, значит корень один.
   Если $$a<0$$, корень $$x=a$$ не подходит, остаётся только $$x=1$$ — один корень. Если $$0\le a<1$$ или $$a>1$$, получаем два различных корня: $$x=a$$ и $$x=1$$.

   Значит:
   $$ \text{если } a<0 \text{ или } a=1,\ \text{то 1 корень;} $$ $$ \text{если } 0\le a<1 \text{ или } a>1,\ \text{то 2 корня.} $$

Ответ

1) $$1$$ корень при $$a=-1$$, иначе $$2$$ корня.
2) $$0$$ корней при $$a<0$$, $$1$$ корень при $$a\ge 0$$.
3) $$1$$ корень при $$a<0$$ или $$a=1$$, $$2$$ корня при $$0\le a<1$$ или $$a>1$$.