Упр.11.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x+2)^(1/10) > 1;
2) (5x+1)^(1/4) < 3; 3) (x^2-|x|+1)^(1/8) > (5-|x|)^(1/8).

1. $$\sqrt[10]{x+2}>1.$$

   Так как функция $$y=\sqrt[10]{x}$$ возрастает при $$x\ge 0$$, а левая часть определена при $$x+2\ge 0$$, получаем:

   $$x+2>1.$$

   $$x>-1.$$

   С учётом области определения $$x\ge -2$$ имеем:

   $$x\in(-1;+\infty).$$

2. $$\sqrt[4]{5x+1}<3.$$

   Область определения:

   $$5x+1\ge 0.$$

   Так как функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ возрастает, то

   $$5x+1<3^4=81.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 5x+1\ge 0,\\ 5x+1<81. \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x\ge -\frac15,\\ x<16. \end{cases} $$

   Следовательно,

   $$x\in\left[-\frac15;16\right).$$

3. $$\sqrt[8]{x^2-|x|+1}>\sqrt[8]{5-|x|}.$$

   Так как функция $$y=\sqrt[8]{x}$$ возрастает, сравним подкоренные выражения:

   $$x^2-|x|+1>5-|x|.$$

   Тогда

   $$x^2-4>0.$$

   Кроме того, должно выполняться условие существования правой части:

   $$5-|x|\ge 0,\quad |x|\le 5.$$

   Решаем неравенство:

   $$ x^2-4>0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x-2)(x+2)>0 $$

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x>2.$$

   Пересекаем с условием $$|x|\le 5$$:

   $$x\in[-5;-2)\cup(2;5].$$

Ответ

1) $$(-1;+\infty)$$; 2) $$\left[-\frac15;16\right)$$; 3) $$[-5;-2)\cup(2;5]$$.