Упр.11.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=|x|^{1/3}$$ на промежутке: 1) $$[2;3]$$; 2) $$[-2;1]$$; 3) $$(-?;2)$$.

Подробный ответ

Функция $$f(x)=\sqrt[3]{|x|}$$ зависит только от $$|x|$$ и при увеличении $$|x|$$ возрастает.

1) $$[2;3]$$

На этом промежутке $$x>0$$, значит $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$. Тогда

$$f(2)=\sqrt[3]{2}, \qquad f(3)=\sqrt[3]{3}.$$

Следовательно,

$$\min_{[2;3]} f(x)=\sqrt[3]{2}, \qquad \max_{[2;3]} f(x)=\sqrt[3]{3}.$$

2) $$[-2;1]$$

Проверим значения в точках, где $$|x|$$ принимает наименьшее и наибольшее значения на отрезке:

$$f(-2)=\sqrt[3]{2}, \qquad f(0)=0, \qquad f(1)=1.$$

Значит,

$$\min_{[-2;1]} f(x)=0, \qquad \max_{[-2;1]} f(x)=\sqrt[3]{2}.$$

3) $$(-\infty;2)$$

На промежутке $$(-\infty;2)$$ наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

$$f(0)=0.$$

При $$x \to -\infty$$ или при приближении к $$2$$ слева значение функции неограниченно не растёт, но наибольшее значение не достигается, так как точка $$x=2$$ не входит в промежуток.

Следовательно,

$$\min_{(-\infty;2)} f(x)=0, \qquad \max_{(-\infty;2)} f(x)\ \text{не существует}.$$