Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ((|x|-4)/(x^2-36))^(1/6); 2) (|x|-3)^(1/10)-1/(x+4)^(1/4).

1) Для выражения $$\left(\frac{|x|-4}{x^2-36}\right)^{\frac16}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби не равнялся нулю:

$$\frac{|x|-4}{x^2-36}\ge 0, \qquad x^2-36\ne 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-36=(x-6)(x+6).$$

Тогда получаем неравенство

$$\frac{|x|-4}{(x-6)(x+6)}\ge 0.$$

Числитель неотрицателен при $$|x|-4\ge 0,$$ то есть при $$x\le -4$$ или $$x\ge 4.$$

С учётом знаков числителя и знаменателя получаем область определения:

$$(-\infty;-6)\cup[-4;4]\cup(6;+\infty).$$

2) Для выражения $$\sqrt[10]{|x|-3}-\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$$ нужно выполнить два условия:

$$|x|-3\ge 0,$$
$$x+4>0,$$

так как подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, а сам знаменатель не может быть равен нулю.

Из первого условия:

$$|x|\ge 3 \quad \Rightarrow \quad x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

Из второго условия:

$$x>-4.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$(-4;-3]\cup[3;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-6)\cup[-4;4]\cup(6;+\infty)$$
2) $$(-4;-3]\cup[3;+\infty)$$