Упр.105 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 105. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2sin(x)+sin(2x) на отрезке [0; 3?/2].

Найдём производную функции:

$$f(x)=2\sin x+\sin 2x$$

$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$f'(x)=2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=4\cos^2 x+2\cos x-2$$

Обозначим $$y=\cos x$$. Тогда

$$4y^2+2y-2\ge 0$$

$$2y^2+y-1\ge 0$$

$$ (2y-1)(y+1)\ge 0 $$

Отсюда

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge \frac12$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, получаем критические точки:

$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi$$

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$

На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ лежат точки $$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}$$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$f(0)=2\sin 0+\sin 0=0$$

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$f(\pi)=2\sin\pi+\sin 2\pi=0$$

$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2$$

Сравниваем полученные значения: наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$, наименьшее — $$-2$$.

Ответ

$$\max f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad \min f(x)=-2$$