Упр.104 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 104. Найдите точки минимума и максимума функции f(x)=sin(x)-cos(x)+x.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin x-\cos x+x,$$

$$f'(x)=\cos x+\sin x+1.$$

Преобразуем:

$$\cos x+\sin x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

поэтому

$$f'(x)=\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1.$$

Так как $$\cos t\ge -1,$$ то

$$f'(x)\ge -\sqrt{2}+1.$$

Но удобнее найти нули производной:

$$\cos x+\sin x+1=0,$$

$$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Исследуем знак производной на промежутках между этими точками. Получаем, что в точках

$$x=\pi+2\pi n$$

функция имеет максимум, а в точках

$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

— минимум.

Ответ

$$x_{\max}=\pi+2\pi n,\quad x_{\min}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$