Упр.103 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:
- $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$;
- $$f(x)=\frac{x-1}{x^2}$$;
- $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$.
1) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(x^2+1\right)^{-1}{}’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
Так как $$\left(x^2+1\right)^2>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется знаком выражения $$-2x.$$
$$f'(x)>0 \iff x<0,$$
$$f'(x)<0 \iff x>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$ В точке $$x=0$$ достигается максимум.
2) $$f(x)=\frac{x-1}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x^2-2x(x-1)}{x^4}=\frac{x^2-2x^2+2x}{x^4}=\frac{x(2-x)}{x^4}.$$
Так как $$x^4>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется знаком произведения $$x(2-x).$$
$$f'(x)>0 \iff 0<x<2,$$
$$f'(x)<0 \iff x<0 \text{ или } x>2.$$
Значит, функция возрастает на $$(0;2]$$ и убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty).$$ В точке $$x=2$$ достигается максимум.
3) $$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\sqrt{x}+\frac{1-x}{2\sqrt{x}}=\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \iff 1-3x>0 \iff x<\frac13,$$
$$f'(x)<0 \iff x>\frac13.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac13\right]$$ и убывает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$ В точке $$x=\frac13$$ достигается максимум.
Ответ
1) Возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$, $$x_{\max}=0.$$
2) Возрастает на $$(0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$, $$x_{\max}=2.$$
3) Возрастает на $$\left[0;\frac13\right]$$, убывает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$, $$x_{\max}=\frac13.$$
