Упр.102 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 102. При каких значениях параметра а функция y=(a+2)x^3-3ax^2+9ax-2 убывает на R?

Подробный ответ

Найдём производную функции:

$$y=(a+2)x^3-3ax^2+9ax-2$$

$$y'(x)=3(a+2)x^2-6ax+9a.$$

Чтобы функция убывала на всей прямой $$\mathbb{R}$$, достаточно и необходимо, чтобы

$$y'(x)\le 0$$

при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Это квадратный трёхчлен относительно $$x$$. Для того чтобы он не принимал положительных значений при всех $$x$$, его старший коэффициент должен быть неположительным, а дискриминант — не положительным:

$$3(a+2)\le 0,$$

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3(a+2)\cdot 9a\le 0.$$

Из первого неравенства получаем:

$$a\le -2.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=36a^2-108a(a+2)=36a^2-108a^2-216a=-72a^2-216a=-72a(a+3).$$

Тогда

$$-72a(a+3)\le 0,$$

$$a(a+3)\ge 0,$$

откуда

$$a\le -3 \quad \text{или} \quad a\ge 0.$$

Совмещаем это с условием $$a\le -2$$: