Упр.101 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $$f(x)=\operatorname{tg}(x)-2x$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\tg x-2x$$

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-2.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)\ge 0 \iff \frac{1}{\cos^2 x}-2\ge 0 \iff \frac{1-2\cos^2 x}{\cos^2 x}\ge 0.$$

Так как $$\cos^2 x>0$$ при $$\cos x\ne 0,$$ то

$$1-2\cos^2 x\ge 0 \iff \cos^2 x\le \frac12.$$

Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}:$$

$$\frac{1+\cos 2x}{2}\le \frac12 \iff \cos 2x\le 0.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ не входят в область определения функции, поэтому промежутки возрастания разбиваются на два:

$$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутках, где $$f'(x)<0,$$ функция убывает:

$$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi(n+1)\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

Функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z,$$ убывает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi(n+1)\right],\ n\in\mathbb Z.$$