Упр.101 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 101. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=tg(x)-2x.

Найдём производную функции:

$$f(x)=\tg x-2x$$

$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-2$$

Функция возрастает там, где $$f'(x)\ge 0$$:

$$\frac{1}{\cos^2 x}-2\ge 0$$

$$1-2\cos^2 x\ge 0$$

$$\cos^2 x\le \frac12$$

Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$\frac{1+\cos 2x}{2}\le \frac12$$

$$1+\cos 2x\le 1$$

$$\cos 2x\le 0$$

Отсюда:

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Но в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ функция не определена, поэтому промежутки возрастания разбиваются на две части:

$$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

На остальных промежутках, где производная отрицательна, функция убывает:

$$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

Эквивалентно можно записать убывание как

$$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi(n+1)\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi(n+1);\frac{5\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

Функция возрастает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z,$$ убывает на промежутках $$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\frac{5\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$