Упр.100 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) $$f(x)=x^2+4x-7$$;
3) $$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$;
2) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-8x+9$$;
4) $$f(x)=\frac{x}{x^2-9}$$.
$$f(x)=x^2+4x-7$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x+4$$
Критическая точка:
$$2x+4=0 \Rightarrow x=-2$$
Так как $$f'(x)<0$$ при $$x<-2$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>-2$$, то функция убывает и затем возрастает.
Ответ: убывает на $$(-\infty;\,-2]$$, возрастает на $$[-2;\,+\infty)$$.
$$f(x)=\frac14x^4-8x+9$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-8$$
Критическая точка:
$$x^3-8=0 \Rightarrow x=2$$
При $$x<2$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>2$$ — $$f'(x)>0$$.
Ответ: убывает на $$(-\infty;\,2]$$, возрастает на $$[2;\,+\infty)$$.
$$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2)$$
Критические точки:
$$x=0,\;1,\;2$$
Исследуем знак производной на промежутках:
- при $$x<0$$: $$f'(x)<0$$;
- при $$0<x<1$$: $$f'(x)>0$$;
- при $$1<x<2$$: $$f'(x)<0$$;
- при $$x>2$$: $$f'(x)>0$$.
Ответ: возрастает на $$[0;\,1]\cup[2;\,+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;\,0]\cup[1;\,2]$$.
$$f(x)=\frac{x}{x^2-9}$$
Область определения:
$$x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 3$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-9)-2x^2}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}$$
Так как $$-x^2-9<0$$ при всех $$x$$ из области определения, а знаменатель всегда положителен, то
$$f'(x)<0$$
на всей области определения функции.
Ответ: функция убывает на $$(-\infty;\,-3)\cup(-3;\,3)\cup(3;\,+\infty)$$.
