Упр.100 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x^2+4x-7; 3) f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1;
2) f(x)=1/4 x^4-8x+9; 4) f(x)=x/(x^2-9).

Подробный ответ

$$f(x)=x^2+4x-7$$
$$f'(x)=2x+4$$
Найдём критическую точку:
$$2x+4=0,\quad x=-2$$
При $$x<-2$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>-2$$ имеем $$f'(x)>0$$. Значит, функция убывает и затем возрастает.
Функция убывает на $$(-\infty;\,-2]$$, возрастает на $$[-2;\,+\infty)$$.
$$f(x)=\frac14x^4-8x+9$$
$$f'(x)=x^3-8$$
Найдём критическую точку:
$$x^3-8=0,\quad x=2$$
При $$x<2$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>2$$ имеем $$f'(x)>0$$.
Функция убывает на $$(-\infty;\,2]$$, возрастает на $$[2;\,+\infty)$$.
$$f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$$
$$f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2)$$
Критические точки: $$x=0,\;1,\;2$$.
Исследуем знак производной:
- на $$(-\infty;\,0)$$: $$f'(x)<0$$;
- на $$ (0;\,1)$$: $$f'(x)>0$$;
- на $$ (1;\,2)$$: $$f'(x)<0$$;
- на $$ (2;\,+\infty)$$: $$f'(x)>0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;\,0] \cup [1;\,2]$$, возрастает на $$[0;\,1] \cup [2;\,+\infty)$$.
$$f(x)=\frac{x}{x^2-9}$$
Область определения: $$x\neq \pm 3$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x^2-9)-2x^2}{(x^2-9)^2}=\frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}$$
Так как $$-x^2-9<0$$ при всех $$x$$ из области определения, а знаменатель положителен, то $$f'(x)<0$$ на всей области определения.
Значит, функция убывает на каждом промежутке области определения:
$$(-\infty;\,-3),\;(-3;\,3),\;(3;\,+\infty)$$