Упр.1.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 1.21. Найдите подмножества А и В множества С такие, что для любого подмножества X множества С выполняется равенство X?A=X?B.

Рассмотрим равенство $$X \cap A = X \cup B$$ для любого подмножества $$X \subset C$$.

Возьмём сначала $$X = C$$. Тогда

$$C \cap A = C \cup B.$$

Левая часть не превосходит $$C$$, а правая содержит $$C$$. Значит, должно быть

$$C \cap A = C,\quad C \cup B = C,$$

откуда

$$A = C,\quad B \subset C.$$

Теперь возьмём $$X = \varnothing$$. Тогда

$$\varnothing \cap A = \varnothing \cup B,$$

то есть

$$\varnothing = B.$$

Следовательно,

$$A = C,\quad B = \varnothing.$$

Ответ

$$A = C,\quad B = \varnothing.$$