Упр.1.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите подмножества $$A$$ и $$B$$ множества $$C$$ такие, что для любого подмножества $$X$$ множества $$C$$ выполняется равенство $$X?A=X?B$$.

Рассмотрим равенство $$X\cap A=X\cup B$$, которое должно выполняться для любого подмножества $$X$$ множества $$C$$.

Возьмём сначала $$X=C$$. Тогда

$$C\cap A=C\cup B.$$

Левая часть не превосходит $$C$$, а правая содержит $$C$$. Значит, обе части равны $$C$$, откуда

$$A=C,\quad B\subseteq C.$$

Теперь возьмём $$X=\varnothing$$. Тогда

$$\varnothing\cap A=\varnothing\cup B,$$

то есть

$$\varnothing=B.$$

Следовательно, $$B=\varnothing$$, а из предыдущего получаем $$A=C$$.

Ответ: $$A=C,\; B=\varnothing.$$