Упр.9.50 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 9.50. Докажите, что (20+14v2)^(1/3)+(20-14v2)^(1/3)=4.

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}, \qquad b=\sqrt[3]{20-14\sqrt2}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2,$$

а также

$$a^3+b^3=(20+14\sqrt2)+(20-14\sqrt2)=40.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Так как $$a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab,$$ то

$$40=(a+b)\bigl((a+b)^2-3\cdot 2\bigr)=(a+b)\bigl((a+b)^2-6\bigr).$$

Пусть $$x=a+b$$. Тогда

$$x(x^2-6)=40,$$

или

$$x^3-6x-40=0.$$

Проверим значение $$x=4$$:

$$4^3-6\cdot 4-40=64-24-40=0.$$

Следовательно, $$x=4$$ — корень уравнения. Значит,

$$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4.$$

Ответ

$$4$$