Упр.9.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения является числом рациональным:
   
   1) $$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$$;
   
   2) $$\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}-\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$$.

1) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2},\qquad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1,$$

$$a^3+b^3=(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=14.$$

Пусть $$x=a+b.$$ Тогда

$$x^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=14+3(-1)x,$$

то есть

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим целый корень: $$x=2$$ подходит, так как

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=2,$$

это рациональное число.

2) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{6\sqrt3+10},\qquad b=\sqrt[3]{6\sqrt3-10}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(6\sqrt3+10)(6\sqrt3-10)}=\sqrt[3]{108-100}=\sqrt[3]{8}=2,$$

$$a^3-b^3=(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)=20.$$

Пусть $$x=a-b.$$ Тогда

$$x^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=20-6x,$$

то есть

$$x^3+6x-20=0.$$

Проверим корень: $$x=2$$ подходит, так как

$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2,$$

это рациональное число.

Ответ: 1) $$2$$; 2) $$2$$.