Упр.9.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (7+5v2)^(1/3)+(7-5v2)^(1/3);
2) (6v3+10)^(1/3)-(6v3-10)^(1/3).

1) Пусть $$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}, \quad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$ Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1,$$

$$a^3+b^3=(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=14.$$

Обозначим $$x=a+b.$$ Тогда

$$x^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=14+3\cdot(-1)\cdot x,$$

то есть

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим целый корень: при $$x=2$$ получаем

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Следовательно, $$x=2$$, значит

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=2\in \mathbb{Q}.$$

2) Пусть $$a=\sqrt[3]{6\sqrt3+10}, \quad b=\sqrt[3]{6\sqrt3-10}.$$ Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(6\sqrt3+10)(6\sqrt3-10)}=\sqrt[3]{108-100}=\sqrt[3]{8}=2,$$

$$a^3-b^3=(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)=20.$$

Обозначим $$x=a-b.$$ Тогда

$$x^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=20-3\cdot2\cdot x,$$

то есть

$$x^3+6x-20=0.$$

Проверим корень $$x=2$$:

$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$

Значит, $$x=2$$, следовательно

$$\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2\in \mathbb{Q}.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$2$$.