Упр.9.48 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\left((x+1)^8\right)^{\frac{1}{8}}+\sqrt{(x-3)^2}$$.

Так как $$\sqrt[8]{(x+1)^8}=|x+1|,$$ а $$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|,$$ то функция имеет вид

$$y=|x+1|+|x-3|.$$

Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны.

1. Если $$x\ge 3,$$ то

   $$y=(x+1)+(x-3)=2x-2.$$

   Возьмём две точки: $$x=3,\ y=4;$$ $$x=5,\ y=8.$$

2. Если $$-1\le x<3,$$ то

   $$y=(x+1)-(x-3)=4.$$

3. Если $$x<-1,$$ то

   $$y=-(x+1)-(x-3)=2-2x.$$

   Возьмём две точки: $$x=-3,\ y=8;$$ $$x=-1,\ y=4.$$

Итак, график функции состоит из трёх частей: левой прямой $$y=2-2x,$$ горизонтального отрезка $$y=4$$ при $$-1\le x\le 3$$ и правой прямой $$y=2x-2.$$

Ответ: $$y=\begin{cases} 2-2x, & x<-1,\\ 4, & -1\le x\le 3,\\ 2x-2, & x\ge 3. \end{cases}$$